Na Edufóru se objevil poměrně zajímavý dotaz spojený s tím, jak zobrazit vrchol paraboly, která je grafem kvadratické funkce. Myslím, že tato otázka si zaslouží trochu více pozornosti, proto ji věnuji tento samostatný článek. Nejprve se budu věnovat tomu, k čemu je sledovat „vrchol“ vlastně dobré a následně proč funguje trik, který je v diskuzi popsán.
Kvadratická funkce je dána předpisem f(x)=ax²+bx+c. Pokud je a nenulové, je grafem funkce parabola. Nyní se podívejme, jaký vliv mají jednotlivé parametry a,b,c na tvar a umístění této paraboly. Nejjednodušší způsob, jak s těmito paratry experimentovat, je vytvořit si danou funkci v programu GeoGebra a ke všem třem parametrům si udělat posuvník.
Nyní můžeme začít experimentovat. Co se žáci běžně učí?
- Pokud měníme parametr c, tvar paraboly se nemění a její poloha se pohybuje nahoru a dolu ve směru osy y.
- Pokud měníme parametr a, mění se tvar paraboly. Stává se „užší“ či „širší“ a v případě změny znaménka se dokonce otočí.
Co se všaj děje s její polohou? To se již vysvětluje poněkud složitěji a zde se vyplatí pracovat s jejím vrcholem. Pokud je b=0, tak se umístění vrcholu v rovině nemění. Co se ale stane, pokud je b nenulové. Parabola se začne pohybovat v rovině. Pokud budeme zaznamenávat polohu vrcholu paraboly, tak zjistíme, že se pohybuje po přímce.
3. Zůstává poslední otázka a tou je, co se děje, pokud měníme parametr b. V takovém případě se nemění tvar paraboly, ale mění se pouze její umístění v rovině. Pokud budeme zaznamenávat polohu Vrcholu, zjistíme, že se tento pohybuje po parabole. Která má stejný tvar, jako výchozí parabola, ale je „převrácená“.
Tato pozorování jsou velmi pěkná, ale teď se dostáváme k otázce, jak v programu GeoGebra zobrazit vrchol paraboly. K tomu samozřejmě poměrně intuitivně slouží funkce Vrchol. A teď nastává kámen úrazu. Graf funkce nemá vrcholy, ale (lokální/globální) maxima a minima. Pokud tedy zadáme kvadratickou funkci s parametry a,b,c jedním z obvyklých způsobů (ax²+bx+c, nebo y=ax²+bx+c), nebude možné funkci Vrchol použít. Program GeoGebra má objekt uložen jako funkci a u funkcí vrcholy nejsou.
Jednoduchým trikem, jak celý problém obejít, je zadat danou parabolu pomocí rovnice, která ji odpovídá. Pokud zadáme y-ax²-bx-c=0, potom program GeoGebra rozpoznává objek jako parabolu a může s ní jako s parabolou nakládat.
Je to zvlášní, ale nakonec je to program, který nás nutí k terminologické přesnosti, protože není schopen provést ztotožnění, resp. záměny, které jsou pro nás naprosto běžně.
